cauchy-riemannsche Differenzialgleichungen

cauchy-riemannsche Differenzialgleichungen

 

[ko'ʃi-; nach A. L. Cauchy und B. Riemann], in der Funktionentheorie ein Paar von Differenzialgleichungen erster Ordnung für den Realteil u (x, y) und den Imaginärteil v (x, y) holomorpher Funktionen f (z) = u + iv einer komplexen Veränderlichen z = x + iy. Die cauchy-riemannschen Differenzialgleichungen lauten:

 

Da u und v die zweidimensionale Laplace-Gleichung erfüllen, wie die Bildung ihrer zweiten Ableitungen zeigt, können die cauchy-riemannschen Differenzialgleichungen bei der Behandlung von Potenzialströmungen u. a. herangezogen werden. Umgekehrt kann man die holomorphen Funktionen als solche Funktionen definieren, für die die cauchy-riemannschen Differenzialgleichungen gelten.